Biologie

Wie wel eens naar de bloembodem van een zonnebloem heeft gekeken, weet dat zonnepitten zijn gerangschikt in fraaie spiraalstructuren. Hoe langer je er naar kijkt, hoe raadselachtiger dit patroon lijkt.  Het aantal spiralen linksom er rechtsom is verschillend. Afhankelijk van het soort zonnebloem zijn het er 34 en 55, 55 en 89, of 89 en 144, ..., altijd twee opeenvolgende Fibonacci-getallen. Vanwaar die wonderlijke rangschikking? Een gedeeltelijke verklaring is de volgende.

Een zonnebloem

Stel, je bent zonnebloem, en je begint tot bloei te komen. Je denkt na over de eeuwigheid en het nageslacht, en je beseft dat de tijd is aangebroken om zonnepitten te maken. Je groeit van binnenuit, en je weet dat de oudste zonnepitten naar buiten worden gedrukt door de jongste. Hoe ga je de nieuwe zonnepitten plaatsen ten opzichte van elkaar? Vier verschillende ideeŽn komen bij je op.

1. Je plaatst elke nieuwe zonnepit zo ver mogelijk weg van zijn voorganger. Je draait dus telkens over 180° twee opeenvolgende pitten staan diametraal tegenover elkaar.

Rampspoed! Dit gaat helemaal fout. De zonnepitten groeien nu naar buiten in twee rijen die precies tegenover elkaar staan. Zo krijg je nooit een fatsoenlijke ronde bloembodem. Je hebt een beter plan nodig.

Diametraal Draaien over 144°

2. Je draait telkens over een rationale hoek, bij voorbeeld 2/5 ´ 360° = 144°.

Nee. Ook dit gaat niet goed. Na 5 zonnepitten ben je 2 keer rond en verval je in herhaling. De zonnepitten groeien nu naar buiten in 5 rijen, met daartussen lege ruimte. Dit kan de beste oplossing ook niet zijn.

3. Je draait telkens over een irrationale hoek.

Dit begint er op te lijken. Het patroon herhaalt zich niet meer, en de ruimte wordt beter gevuld met pitten. Toch is niet elke irrationale hoek even geschikt. In het geval van een irrationaal getal dat dicht bij 144° ligt krijg je weliswaar geen 5 lijnen meer, maar nog altijd 5 spiraalarmen die maar een heel klein beetje gekromd zijn. Welk irrationaal getal kun je het beste kiezen? Welk getal is het slechtst te benaderen met een rationaal getal? Als je het stukje over voortgezette breuken hebt gelezen kun je het wel raden:

Draaien over een irrationale hoek Draaien over de gouden hoek

4. Je draait telkens over de Gulden Hoek, j ´ 360° = 222,5°. Je krijgt dan zoín soort ruimtelijke verdeling als in het vierde plaatje. (We garanderen niet dat dit plaatje zo nauwkeurig is dat je het aantal schijnbare spiraalarmen er precies mee kunt bepalen.)

Nu zijn we er. Dit is wat een zonnebloem ook werkelijk doet. Hoe dat genetisch bepaald wordt is een tweede, maar het geometrische voordeel van de Gulden Hoek is meer dan een speculatie: in 1993 werd door Couder en Douady aangetoond dat de oppervlakte van de zonnebloem het best wordt benut als de nieuwe zonnepitten onder de Gulden Hoek worden geplaatst. In plaats van 222,5° kun je overigens ook 137,5° nemen (360° Ė 222,5°), dat maakt in wezen geen verschil uit.

De Gulden Hoek is in een zonnebloem overigens niet gemakkelijk te zien. Je oog wordt snel afgeleid door andere spiralen (de parastichons) waarin de zonnepitten naar buiten lijken te groeien, vooral ook omdat de zonnepitten geen stippen zijn, maar als puzzelstukjes op elkaar passen. De spiraal door de achtereenvolgende zonnepitten (de generatieve spiraal) is héél strak gewonden: 137,5° per zonnepit! Het aantal parastichons is een getal van Fibonacci. Als je het verband tussen de Gulden Snede en de getallen van Fibonacci goed begrijpt zou je na kunnen gaan waarom dat zo is.

Met behulp van een applet kun je de rangschikking van zonnepitten als gevolg van verschillende hoeken zien. Je zult merken dat je door de hoek te variëren allerlei spiraalstructuren kunt krijgen.

        Opdracht 1

        Kun je de spiraalstructuur van zonnebloemen ook herkennen
        in andere planten en vruchten?  Denk bij voorbeeld aan bloemkool,
        ananas of denneappels. Hoe groot is het aantal spiralen
        linksom en rechtsom? Dit aantal zou een getal van Fibonacci
        moeten zijn, maar wees niet verbaasd als het niet altijd klopt.
        Ver van het midden kun je afwijkingen verwachten doordat er
        'foutjes' in het patroon sluipen; de natuur is meestal grilliger
        dan het model.

        Opdracht 2

        Ook het aantal kroonbladeren van bloemen is vaak een Fibonacci-
        getal. Zo hebben volgens de literatuur (Scientific American
        January 1995) lelies 3 kroonbladeren, boterbloemen 5, goudsbloemen 13,
        asters 21, en madeliefjes meestal 34, 55 of 89. Klopt dat?
        Wat vind je voor andere bloemen? Als het aantal kroonbladeren
        geen Fibonaccigetal is, is het volgens de genoemde artikelen
        meestal het dubbele van een Fibonaccigetal, of een getal uit
        de rij van Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ... . Klopt dat
        met je bevindingen?

        Opdracht 3

        Tot welke familie behoort de zonnebloem? Welke andere bloemen
        behoren tot die familie? Is de rangschikking van de zaden daarvan
        hetzelfde als bij de zonnebloem?

        Opdracht 4

        De groei van zonnebloemen zoals die hierboven wordt beschreven
        is een wiskundig model, en zegt niets over de manier waarop de
        groei in werkelijkheid plaatsvindt. Is het wiskundige model
        biologisch gezien ook aannemelijk? Hoe wordt die rotatie over
        137,5° gerealiseerd? Biologen zijn het hierover nog niet
        eens. Je kunt deze vraag dus niet zo maar beantwoorden, maar
        je kunt je wel verdiepen in de groei van planten, en je mening
        geven over de wiskundige modellen waarmee plantengroei wordt
        nagebootst. Het deelweefsel van waaruit de groei plaatsvindt
        heet het meristeem. Wat kun je in boeken en via internet over
        het meristeem te weten komen? In welk stadium wordt de rang-
        schikking van zonnepitten bepaald? Is er dan al sprake van
        zonnepitten? Wat zijn primordia? Denk je dat de hoek van 137,5°
        op de een of andere manier genetisch wordt aangestuurd, of is
        er een mechanisme dat er voor zorgt dat de nieuwe zonnepitten
        'automatisch' op de goede plaats terecht komen?
        De webpagina van R.Knott kan een aanknopingspunt zijn.

        Opdracht 5

        Op de eerder genoemde webpagina staan nog meer voorbeelden
        an de Fibonaccigetallen in de biologie. Misschien kun je
        daar inspiratie opdoen voor een onderzoeksvraag.