Introductie

Wat is de Gulden Snede?

De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten.
Gulden Snede

Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt M, zodat de verhouding MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking:

Eq. 1.1

Met kruislings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omschrijven tot

Eq. 1.2

Met de abc-formule vinden we x = (1 + 5)/2 0.618 of x = (1 5)/2 1.618. We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (1 + 5)/2 voldoet.

Het getal  (1 + Ö5)/2  noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter j. Met je rekenmachine vind je dat j » 0,61803398875. Als je toch je rekenmachine bij de hand hebt, kijk dan eens wat er gebeurt als je het omgekeerde van j berekent (dus 1/j). De Gulden Snede heeft blijkbaar de eigenschap dat 1/j = 1 + j. Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd. Op deze pagina geven we 1 + j weer met de hoofdletter F (dus F  » 1,61803398875).


Betekenis van de Gulden Snede

De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. De verhouding van de zijden van de knoppen op de knoppenbalk van deze website is ook gelijk aan de Gulden Snede!

Een voorbeeld van "mooie" verhoudingen zie je in de onderstaande afbeelding. Een ervaren schilder of fotograaf zal de horizon meestal niet midden in beeld plaatsen, maar bij voorkeur een stuk daarboven of daaronder. Ook zal het hoofdmotief bij een dergelijke landschapsfoto als regel niet in het midden staan. Vanzelfsprekend gaat een fotograaf daarbij niet op zijn rekenmachine de Gulden Snede op tien decimalen nauwkeurig berekenen; in sommige fotoboeken vind je de vuistregel dat het motief op 1/3 of 2/3 van het beeld moet staan.

Picture

Ten tweede heeft de Gulden Snede interessante wiskundige eigenschappen:

1. De Gulden Snede leidt tot een gelijkvormige vlakverdeling.
2. De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie. Teken maar eens een regelmatig pentagram.

Een regelmatig pentagram
Een regelmatig pentagram

Elk van de vijf driehoeken is een gelijkbenige driehoek waarvan de zijden zich verhouden als 1 : j (= F : 1).
3. De Gulden Snede is de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonacci.
4. De Gulden Snede heeft een unieke representatie als voortgezette breuk.

Ten derde blijkt de Gulden Snede (vaak in combinatie met de getallen van Fibonacci) ook werkelijk in de natuur voor te komen. Zo kun je de Gulden Snede herkennen in de rangschikking van zonnepitten, de groei van bepaalde schelpen en de structuur van denneappels. Op de pagina over biologie kun je hier meer over lezen. De Gulden Snede speelt ook een rol in de natuurkunde van gekoppelde slingers.