De gulden rechthoek

De gulden snede maakt een bijzondere vlakverdeling mogelijk, namelijk een waarbij uitsluitend
vierkanten van verschillende grootte worden gebruikt. Kijk eens naar het plaatje hieronder. We beginnen met een rechthoek met lengte 1 + j en breedte 1. We knippen aan de linkerkant een vierkant met zijde 1 weg, en houden rechts een rechthoek met lengte 1 en breedte j over. Is nu j gelijk aan de gulden snede (j » 0,61803... ), dan is de kleinere rechthoek gelijkvormig met zijn voorganger! Een rechthoek met deze lengte-breedteverhouding noemen we een gulden rechthoek.

Rechthoek

De kleinere gulden rechthoek kunnen we wéér verdelen in een vierkant (met zijde j) en een nog kleinere gulden rechthoek (met lengte j  en breedte j2).  Op deze manier kun je telkens kleinere vierkanten afsplitsen, tot je uiteindelijk een microscoop nodig hebt om de kleinste vierkantjes nog te kunnen zien.

Het zal je opgevallen zijn dat we in de figuur een spiraal door een aantal hoekpunten van de vierkanten hebben getekend. Deze spiraal is logaritmisch: de hoek die de spiraal maakt met een cirkel om het accumulatiepunt is overal hetzelfde. Logaritmische spiralen komen in de natuur vaak voor als er sprake is van een gelijkvormige groei; bekende voorbeelden zijn de rangschikking van zonnepitten in een zonnebloem (link naar zonnebloemen) en de schelp van de nautilus. De  logaritmische spiraal in het plaatje hierboven is een bijzonder geval: de spiraal van Fibonacci. Bij de spiraal van Fibonacci is de hoek tussen de spiraal en een cirkel met het accumulatiepunt als middelpunt altijd gelijk aan 17,032°.

Nautilus
 De doorsnede van de Nautilus is een logaritmische spiraal,
maar niet een spiraal van Fibonacci.

        Opdracht 1
        Ga na dat de oppervlakte van de steeds kleiner wordende vierkanten te schrijven
        is als een rij 1, j2, j4, j6, Wat voor rij is dit? Blijkbaar is de oppervlakte van
        de oorspronkelijke gulden rechthoek gelijk aan 1 +  j2j4j6 +  Kun je
        deze sommatie uitvoeren? Met behulp van de definitie van de gulden snede moet
        je het  resultaat kunnen herleiden tot 1 + j.
 

        Opdracht 2

        We zijn begonnen met een gulden rechthoek, en hebben toegewerkt naar
        steeds kleinere afmetingen. Het kan ook andersom. Teken op ruitjespapier
        een vierkant zo groot als één hokje (5 mm of 10 mm). De zijde van dit
        vierkant noemen we 1. Teken tegen het eerste vierkant een tweede, ook
        met zijde 1. Teken tegen deze twee vierkanten een derde met zijde 2; doe
        dit zo dat je in totaal een rechthoek van 3 bij 2 krijgt. Teken tegen deze
        rechthoek een vierkant met zijde 3, zodat je een rechthoek van 5 bij 3 krijgt.
        Begin je de regelmaat te zien? Tegen de rechthoek van 5 bij 3 teken je weer
        een vierkant met zijde 5, zodat je een rechthoek van 8 bij 5 krijgt. Als je het
        netjes wilt doen, teken je de nieuwe vierkanten telkens zo dat hun middel-
        punten op een spiraal liggen die tegen de klok in naar buiten draait, net zoals
        in de figuur hierboven. Vraag 1: aan welke Italiaanse wiskundige moet je
        denken als je de zijden van de vierkanten op een rij zet? Vraag 2: waarom
        gaan de rechthoeken steeds meer op een gulden rechthoek lijken?

Een animatie van het tekenen van deze reeks van vierkanten kun je vinden op deze link.